Mathematics

Британский физик-теоретик Поль Дирак (1902–1984), один из основоположников квантовой механики, однажды написал:

«Было трудно примирить ньютоновскую теорию гравитации, в соответствии с которой гравитационное взаимодействие распространяется мгновенно, с требованиями специальной теории относительности, и Эйнштейн, работавший над этой проблемой, пришёл к обобщению своей теории относительности — вероятно, величайшему из когда-либо сделанных научному открытию».

Общую теорию относительности принято считать теорией исключительной красоты. Эксперименты и наблюдения, проводившиеся на протяжении многих лет, подтвердили непротиворечивость этой теории. Я опишу одно из испытаний, давшее корректное объяснение «аномального» смещения перигелия Меркурия, которое не подчинялось ньютоновскому закону всемирного тяготения.

Рис. 1: смещение перигелия Меркурия (источник).

Проблема классической теории тяготения Ньютона

Прецессия (или смещение) перигелия (ближайшей к Солнцу точки орбиты планеты) имеет множество причин. Вот две из них:

  • наличие других планет, взаимовлияние которых вызывает медленное изменение параметров их орбит. Это главная причина;
  • сплюснутость солнечного диска (см. рисунок), которое оказывает значительно меньшее влияние.
Рис. 2: сфера, сжатая до сплюснутого эллипсоида (источник).

Скорость смещения перигелия Меркурия не согласуется с предсказанием ньютоновской теории тяготения. Эту аномалию обнаружил французский астроном и математик Урбен Леверье. В 1882 году были опубликованы результаты расчётов Саймона Ньюкома, согласно которым фактическая скорость смещения расходится с предсказанием ньютоновской теории на 43 угловых секунды. Для объяснения этого феномена выдвигались разные гипотезы, но все они оказывались несостоятельными.

Решение, полностью объясняющее это дополнительное смещение, было найдено в рамках общей теории относительности Эйнштейна.

Использование общей теории относительности для расчёта смещения перигелия Меркурия

Решение Шварцшильда — это решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающих геометрию вакуумного пространства-времени вокруг Солнца. Другими словами, метрика Шварцшильда — это метрика Солнечной системы, обусловленная искривлением пространства-времени вблизи Солнца. Такая метрика справедлива, если:

  • Солнце рассматривается как невращающийся объект;
  • гравитационным полем других планет Солнечной системы можно пренебречь.

Решение Шварцшильда имеет следующий линейный элемент:

Уравнение 1: линейный элемент решения Шварцшильда, описывающий геометрию вакуумного пространства-времени вокруг Солнца.

где r, θ и φ — это сферические координаты (наглядно показанные на рис. 3), а параметр R = 2M известен как радиус Шварцшильда.

Рис. 3: сферические координаты (источник).

Заметим, что из изотропии метрики мы всегда имеем θ = π/2 (орбиты ограничены экваториальным местом). На самом деле, согласно задаче двух тел (в нашем случае это Солнце и планета), движение тела с учётом центральной силы всегда будет происходить в плоскости. На рис. 4 и рис. 5 показаны два типа систем двух тел, движущихся по орбите. Движение, ограниченное плоскостью, актуально и для закона всемирного тяготения Ньютона, и для теории тяготения Эйнштейна. Следовательно, в нашем анализе будет достаточно рассмотреть только геодезические, находящиеся в этой плоскости.

Рис. 4: два тела с одинаковой массой, вращающиеся вокруг общего центра масс, внешнего по отношению к обоим телам, по эллиптическим орбитам (например, двойные звёзды) (источник).
Рис. 5: два тела с разными массами, вращающиеся вокруг общего центра масс по круговым орбитам (источник).

Третье условие справедливости этого анализа состоит в том, что радиальная координата r должна быть намного больше радиуса Солнца. Это не проблема, так как радиус Шварцшильда для Солнца гораздо меньше радиуса самого Солнца. Для сравнения: радиус Шварцшильда для Солнца составляет примерно 2,95×10³ м, тогда как радиус Солнца приблизительно равен 6,96×10⁸ м.

Рис. 6:немецкий физик и астроном Карл Шварцшильд (источник).

Симметрии в данном пространстве-времени связаны с сохраняющимися величинами для движущихся в нём частиц и фотонов. Поскольку метрика g решения Шварцшильда независима от времени (или инвариантна относительно сдвига начала отсчёта по времени) и сферически симметрична, энергия массивных частиц и энергия фотона сохраняются. Математически можно представить это следующим образом.

В пространстве-времени с метрикой g свободно падающая материальная частица или фотон удовлетворяет условиям геодезического уравнения (обобщения понятия «прямая» для искривлённых пространств), связанного с этим пространством-временем, которое имеет следующий вид (см. Schutz):

Уравнение 2: геодезическое уравнение, условиям которого удовлетворяют свободно падающие материальные частицы или фотоны.

Обратите внимание: так как фотоны тоже будут приниматься в расчёт, то параметр λ не может быть собственным временем τ. Геодезическое уравнение может быть записано и в таком виде:

Уравнение 3: геодезическое уравнение, записанное в альтернативной форме.

Заметьте, что:

Уравнение 4: постоянные компоненты метрики во времени и в координате ϕ.

Уравнения 3 и 4 предполагают, что:

Уравнение 5: константы движения на геодезической.

Затем определяем следующее:

Уравнение 6: энергия на единицу массы частицы и энергия фотона.

Символ ~ в обозначении энергии массивной частицы используется для указания на то, что это энергия на единицу массы (см. Schutz). Аналогично вследствие независимости g от φ сохраняется момент импульса. Мы определяем:

Уравнение 7: момент импульса на единицу массы частицы и момент импульса для фотона.

где в левой части момент импульса на единицу массы частицы, а в правой — момент импульса фотона. Теперь нам нужны уравнения для орбиты. Тремя составляющими импульса массивной частицы являются:

Уравнение 8: три составляющие импульса массивной частицы.

Импульсы для фотона:

Уравнение 9: три составляющие импульса фотона.

Теперь используем только что полученные компоненты импульса, подставляем их в уравнения |p|=-m² для частицы и фотона и решаем для dr/. Уравнения для dr/принимают такой вид:

Уравнение 10: уравнения для возведённых в квадрат dr/dλ.

Теперь интуиция подсказывает нам переписать эти уравнения с использованием эффективных потенциалов, а именно:

Уравнение 11: определения эффективных потенциалов для массивной частицы и фотона.

Эти потенциалы показаны на рис. 7. Обратите внимание: поскольку левая сторона обоих уравнений положительна, эффективный потенциал должен быть меньше энергии. Рис. 7 показывает эффективный потенциал (заметьте, что E и V на рис. 7 указывают те же величины с символом ~) для массивных и безмассовых частиц. На рисунке также показаны точки поворота, где dr/dλ=0, запрещённые зоны, где E < V, и круговые орбиты (устойчивые и неустойчивые), где dV²/dr=0.

Рис. 7: эффективные потенциалы для массивных и безмассовых частиц (фотонов). На рисунке показаны точки поворота, запрещённые зоны и круговые орбиты, как устойчивые (минимумы), так и неустойчивые (максимумы).

Смещение перигелия Меркурия

Поскольку наша цель — вычислить смещение перигелия Меркурия, далее будем рассматривать только движение массивных объектов.

Устойчивая круговая орбита возникает на минимуме эффективного потенциала. Пусть M будет массой Солнца. Дифференцируя эффективный потенциал, приводя результат к нулю и решая для r, получаем радиус устойчивой круговой орбиты:

Уравнение 12: радиус устойчивой круговой орбиты массивной частицы, двигающейся вокруг Солнца.

В ньютоновской механике полная орбита планеты на круговой орбите возвращается к своему исходному φ. Используя тот факт, что круговые орбиты имеют E²=V², и задействуя полученные нами выражения, можно вычислить время, требующееся планете, чтобы достичь Δφ=2π, то есть период P:

Уравнение 13: результат Ньютона для периода планеты, вращающейся вокруг Солнца.
Рисунок 8: орбиты пробной частицы (слева — согласно закону всемирного тяготения Ньютона и справа — согласно уравнениям Эйнштейна) (источник).

Итак, в общей теории относительности вращающаяся планета не возвращается в свою начальную точку. Если релятивистские эффекты незначительны, то у нас должен быть эллипс, который медленно вращается вокруг своего центра. И теперь мы можем изучить движение перигелия орбиты. Для этого выполняем три быстрых вычисления (см. Schutz):

  • выведем выражение для /, используя момент импульса;
  • выведем выражение для dt/, используя энергию на единицу массы;
  • определим новую переменную u ≡ 1/r.

Подставляя их в уравнение 10, получаем:

Уравнение 14: релятивистское выражение для du/dφ.

А теперь определим y, то есть отклонение от круглости:

Уравнение 15: определение переменной y (отклонения от круглости).

Для ньютоновской орбиты y=0. Чтобы получить релятивистское выражение, подставим уравнение 15 в уравнение 14 и отбросим переменные y³ третьего порядка. Получаем следующее уравнение для почти круговой орбиты:

Уравнение 16: релятивистское выражение для dy/dφ.

Решение принимает вид:

Уравнение 17: решение y (φ) уравнения 16.

где B зависит от начальных условий. Из аргумента косинуса заключаем, что орбита возвращается к тому же радиусу, когда Δ() = 2π. Полученный результат отличается от ньютоновского наличием k, не равного 1! Если релятивистские эффекты незначительны, можно сделать ещё несколько простых приближений, чтобы получить:

Уравнение 18: смещение перигелия в результате многократного движения планеты по орбите.

В частности для Меркурия получается сдвиг на 43 угловых секунды в год — значение, которое (как уже упоминалось в начале статьи) было подтверждено экспериментально.

Похоже, даже Эйнштейн был ошеломлен результатом своих вычислений. Ошеломлён настолько, что не мог дальше работать несколько дней. По его собственным словам, он был «вне себя от радости».

Читайте также:


Перевод статьи Marco Tavora: Einstein, and the Most Beautiful of All Theories